Wózek na torze powietrznym

Kod zadania: 889

Wózek na torze powietrznym ma masę mv = 250 g i jest przyspieszany przez pociągnięcie za sznurek przerzucony przez bloczek. Porównaj wartości przyspieszenia wózka, w przypadku gdy

a) ciągniemy za sznurek siłą 0,1 N

b) zawiesimy na sznurku ciało o ciężarze 0,1 N

Opór powietrza oraz masy sznurka i bloczku pomijamy.

Uwaga: Tor powietrzny to urządzenie, na którym możliwy jest ruch wózka bez tarcia. Wdmuchiwany od dołu strumień powietrza unosi wózek.

Obrázek k zadání úlohy
  • Podpowiedź 1a

    Naszkicuj rysunek zaznaczając siły działające na wózek w przypadku, gdy ciągniemy za sznurek siłą o wartości 0,1 N. Zapisz równanie ruchu dla wózka.

  • Podpowiedź 2a

    Równanie ruchu z punktu (1) zapisz skalarnie i wyprowadź wzór na przyspieszenie a1.

  • Podpowiedź 1b

    Sporządź rysunek uwzględniający siły działające na pojazd i ciężarek. Zapisz równania ruchu dla pojazdu i ciężarka.

  • Podpowiedź 2b

    Równania ruchu (7) i (8) zapisz skalarnie. Zastanów się, co możemy powiedzieć o siłach naciągu sznurka T i T'.

  • Podpowiedź 3b

    Korzystając z równań (11) i (12) określ wartość przyspieszenia a2.

  • Komentarz

    Wartość przyspieszenia a1 jest większa niż przyspieszenia a2. To dlatego, że w pierwszym przypadku siła o wartości 0,1 N działa bezpośrednio na wózek i tylko jemu nadaje przyspieszenie. W drugim przypadku siła 0,1 N, równa ciężarowi zawieszonego ciała, nadaje przyspieszenie nie tylko wózkowi, ale i samemu ciężarkowi.

  • PEŁNE ROZWIĄZANIE

    Siły działające na wózek w przypadku a):

    Síly působící na vozík při tažení rukou

    \(\vec{F}\)…siła, którą ciągnie ręka za pośrednictwem sznurka

    \(\vec{N}\)…siła, z jaką strumień powietrza działa na wózek

    \(\vec{F}_{Gv}\)…siła ciężaru wózka

    Równanie ruchu:

    \[\vec{F}_{Gv}+\vec{N}+\vec{F}\,=\, m_v\vec{a_1}\tag{1}\]

    \(m_v\)…masa wózka

    \(\vec{a}_1\)…przyspieszenie wózka

    Aby równanie ruchu zapisać skalarnie, wprowadzamy układ odniesienia. Oś x przyjmujemy w kierunku ruchu wózka. Oś y jest prostopadła do osi x.

    Síly působící na vozík při tažení rukou (se souřadnicemi)

    Równanie ruchu skalarnie:

    \[x:\hspace{10px}F\,=\,m_{v} a_1\tag{2}\] \[y:\hspace{10px}N - F_{Gv} \,=\,0\tag{3}\]

    Wózek nie porusza się wzdłuż osi y, dlatego w równaniu (3) przyrównujemy składową pionową sił do zera.

    Ze związku (2) wyprowadzamy wartość przyspieszenia a1:

    \[ a_1\,=\,\frac{F}{m_v}\tag{5}\]

    Podstawiamy wartości liczbowe:

    \[ a_1\,=\,\frac{0{,}1}{0{,}25}\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,=\, 0{,}4\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\tag{6}\]

    Siły działające na wózek i ciężarek w przypadku b):

    Síly působící na vozík a závaží

    Wózek:

    \(\vec{N}\)…siła działania strumienia powietrza na wózek

    \(\vec{F}_{Gv}\)…siła ciężkości

    \(\vec{T^{\prime}}\)…siła oddziaływania ciężarka (za pośrednictwem sznurka) na wózek

    Ciężarek:

    \(\vec{F}_{Gz}\)…siła ciężkości

    \(\vec{T}\)…siła oddziaływania wózka (za pośrednictwem sznurka) na ciężarek

    Równania ruchu:

    Równanie ruchu dla wózka:

    \[\vec{F}_{Gv}+\vec{N}+\vec{T^{\prime}}\,=\, m_v\vec{a}_2\tag{7}\]

    Równanie ruchu dla ciężarka:

    \[\vec{F}_{Gz}+\vec{T}\,=\,m_z\vec{a}_2\tag{8}\]

    \(m_v\)…masa wózka

    \(m_z\)…masa ciężarka

    \(\vec{a}_2\)…przyspieszenie wózka i ciężarka

    Aby równanie ruchu zapisać skalarnie, wprowadzamy układ odniesienia. Oś x przyjmujemy w kierunku ruchu wózka (i dalej ciężarka). Oś y jest prostopadła do osi x.

    Síly působící na vozík a závaží (se souřadnicemi)

    Równania ruchu skalarnie:

    Równanie ruchu wózka:

    \[x:\hspace{10px}T^{\prime}\,=\,m_{v}a_2\tag{9}\] \[y:\hspace{10px}N - F_{Gv}\,=\,0\tag{10}\]

    Wózek nie porusza się wzdłuż osi y, dlatego w równaniu (10) przyrównujemy składową pionową sił do zera.

    Równanie ruchu ciężarka:

    \[x:\hspace{10px}F_{Gz}-T\,=\,m_{z}a_2\tag{11}\]

    Ponieważ zaniedbujemy masę bloczka (a co za tym idzie - jego moment bezwładności), możemy w oparciu o 3. zasadę dynamiki Newtona zapisać:

    \[|\vec{T}| \,=\, |\vec{T^{\prime}}|\]

    Przepiszmy równanie (9):

    \[T\,=\,m_{v}a_2\tag{12}\]

    Dodajmy równania (11) i (12):

    \[F_{Gz}\,=\,m_{z}a_2+m_{v}a_2\] \[F_{Gz}\,=\,(m_z+m_v)a_2\] \[a_2\,=\,\frac{F_{Gz}}{m_z+m_v}\]

    Masa ciężarka to \[m_z\,=\,\frac{F_{Gz}}{g}\] , tak więc:

    \[a_2\,=\,\frac{F_{Gz}}{\frac{F_{Gz}}{g}+m_v}\tag{13}\]

    Do wzoru (13) podstawiamy wartości liczbowe:

    \[a_2\,=\,\frac{0{,}1}{\frac{0{,}1}{10}\,+\,0{,}25}\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,=\, \frac{0{,}1}{0{,}26}\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,=\,0{,}38\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\tag{14}\]
  • PEŁNA ODPOWIEDŹ

    Wartość przyspieszenia wózka, ciągniętego ręką za sznurek z siłą 0,1 N, wynosi

    \[a_1\,=\,\frac{F}{m_v}\,=\,0{,}4\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,.\]

    Wartość przyspieszenia wózka, po zawieszeniu na sznurku ciała o ciężarze 0,1 N, wynosi

    \[ a_2\,=\,\frac{F_{Gz}}{\frac{F_{Gz}}{g}+m_v}\,=\,0{,}38\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,.\]

    Komentarz:Wartość przyspieszenia a1 jest większa niż przyspieszenia a2. To dlatego, że w pierwszym przypadku siła o wartości 0,1 N działa bezpośrednio na wózek i tylko jemu nadaje przyspieszenie. W drugim przypadku siła 0,1 N, równa ciężarowi zawieszonego ciała, nadaje przyspieszenie nie tylko wózkowi, ale i samemu ciężarkowi.

Poziom: Poziom 2 – Szkoła ponadgimnazjalna