Kometa Halleya
Kod zadania: 224
Okres obiegu komety Halleya wokół Słońca wynosi TK = 76,02 lat. 20. 4. 1910 kometa przeszła przez peryhelium w odległości aP = 0,59 j.a.
Podaj datę kolejnego przejścia komety przez peryhelium. Kiedy zaobserwujemy następne przejście komety przez peryhelium (z dokładnością do tygodnia)?
Na jaką maksymalną odległość od Słońca może się oddalić kometa Halleya?
Podpowiedź 1: Przejścia przez peryhelium
Przelicz okres obiegu komety na dni.
Podpowiedź 2: Odległość w aphelium
Zastanów się, jak określić długość wielkiej półosi orbity komety. Trajektorią jest elipsa. Jak wykorzystać znajomość długości wielkiej osi? (Jak mają się do siebie odległości w peryhelium i aphelium?)
Podpowiedź 3: Długość wielkiej półosi orbity
Długość wielkiej półosi możemy określić z III prawa Keplera.
Rozwiązanie: Przejście komety przez peryhelium
TK = 76,02 lat \(\,\dot{=}\,\)76 lat 7 dni. Po 20. 4. 1910 następne przejście przez peryhelium wypadło więc 27. 4. 1986. Kolejne będzie można zaobserwować w pierwszym tygodniu kwietnia 2062 r. (taka dokładność w zupełności wystarczy, trzeba pamiętać, że na wynik będzie mieć wpływ przyjęta długość roku - uwzględnianie lat przestępnych, wyniki mogą więc różnić sie o jeden - dwa dni).
Rozwiązanie: Obliczenie odległości
Z 3. prawa Keplera obliczymy długość aK wielkiej półosi orbity komety wokół Słońca:
\[\frac{a_{Z}^{3}}{a_{K}^{3}} \,=\, \frac{T_{Z}^{2}}{T_{K}^{2}}\,,\]gdzie aZ = 1 j.a. to średnia odległość Ziemi od Słońca, a TZ = 1 rok to okres obiegu Ziemi.
Otrzymamy więc:
\[a_{K}\,=\,(\frac{T}{1~\mathrm{rok}})^{\frac{2}{3}} \,\dot{=}\, 17{,}95\,\mathrm{j.a.}.\]Mamy też: 2aK = aA + aP, gdzie aA to odległość komety od Słońca w aphelium.
Stąd aA = 2aK-aP = 5,31 j.a.
Odpowiedź
Po 20. 4. 1910 kolejne przejście przez peryhelium nastąpiło 27. 4. 1986, następne będzie miało miejsce w pierwszym tygodniu kwietnia 2062 roku.
Odległość komety od Słońca w aphelium: aA = 35,31 j.a.
