Zbiór rozwiązanych zadań i problemów fizycznych

Jak długi jest basen?

Kod zadania: 594

• Analiza:

  Skupiamy się na chwili, kiedy dwóch zawodników się spotkało. Napisz, jakie były odległości zawodników w tym momencie od punktu początkowego, zakładając zarówno nieznaną długość basenu jak i prędkość zawodników w wodzie. Odkryj prawdziwy, w obu przypadkach, stosunek ich prędkości.

• Podpowiedź 1: Pierwsze spotkanie Karola i Piotrka - stosunek prędkości

  Oznaczmy długość basenu przez x .

  Jaka całkowita odległość została pokonana przez Karola do pierwszego spotkania z Piotrkiem? Jaka całkowita odległość została pokonana przez Piotrka do pierwszego spotkania z Karolem?

  Jaki jest stosunek dróg obu zawodników?

  Pamiętaj, że bierzemy pod uwagę czas, w którym te odcinki drogi zostały pokonane.

• Rozwiązanie

  Zakładamy, że obaj zawodnicy poruszają się ze stałą prędkością. Do pierwszego spotkania zawodników (w czasie t) stosuje się wzory:

  \[v_kt=x+s,\] gdzie:

  \(v_k\) ........... ... prędkość, z jaką płynął Karol

  \(x+s\) ........... droga, jaką pokonał Karol do chwili, gdy spotkał się z Piotrkiem

    \[v_pt=x-s,\]

  \(v_p\) ............... prędkość, z jaką płynął Piotrek

  \(x-s\) ............ droga, jaką pokonał Piotrek do chwili, gdy spotkał się z Karolem

  Czas t,po upływie którego Piotrek spotkał się z Karolem jest taki sam dla jednego i drugiego chłopca, bo wystartowali oni w tym samym momencie i płynęli do chwili spotkania. Dlatego też stosunek całkowitej drogi, która została pokonana do pierwszego spotkania przez obu chłopców jest równy stosunkowi prędkości, z jakimi oni płynęli:

  \[\frac{v_p}{v_k}=\frac{x-s}{x+s} \tag{1}\]

• Podpowiedź 2: Drugie spotkanie Karola i Piotrka – stosunek prędkości

  Ponownie oceń, jaka całkowita odległość została pokonana przez Karola do drugiego spotkania z Piotrkiem oraz jaka całkowita odległość została pokonana przez Piotrka do drugiego spotkania z Karolem.

  Jakie tym razem otrzymamy związki?

• Rozwiązanie

  Do czasu drugiego spotkania zawodników (w czasie t') Karol przepłynął dwie i n-tą część długości basenu, czyli:

  \[v_kt'=2x+\frac{1}{n}x\]

  W tym samym czasie Piotrek przepłynął jedną całą długość basenu i odcinek długości basenu, w którym spotkał się z Karolem (Karol w tym czasie przepłynął \(\frac{1}{n}\) długości basenu, a Piotrek \(\frac{n-1}{n}\) długości basenu):

  \[v_pt'=x+\frac{n-1}{n}x\]

  Stosunek prędkości dwóch zawodników w tym przypadku będzie więc równy:

  \[\frac{v_p}{v_k}=\frac {x+\frac{n-1}{n}x}{2x+\frac{1}{n}x}=\frac{1+\frac{n-1}{n}}{2+\frac{1}{n}}=\frac{2n-1}{2n+1}\tag{2}\]

• Podpowiedź 3: Porównanie obu stosunków prędkości

  Porównując stosunek dwóch prędkości z pierwszego i drugiego spotkania możemy obliczyć długość basenu x.

• Rozwiązanie

  Porównując prędkości w obu przypadkach mamy:

  \[\frac{x-s}{x+s} = \frac{2n-1}{2n+1}\]

  Mnożymy na krzyż:

  \[(x-s)(2n+1) = (x+s)(2n-1)\] \[2nx-2ns+x-s = 2nx+2ns-x-s\] \[2x = 4ns \]

  Zatem:

  \[x=2ns\]

  Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy, że:

  \[x=(2\cdot{5}\cdot5)\,\mathrm{m}=50\,\mathrm{m}\]

• Odpowiedź

  Długość basenu wynosi 50 m.