Przyspieszający samochód
Kod zadania: 892
Samochód o masie 1 400 kg rusza na poziomej drodze. Po pokonaniu 1 000 m osiąga pewną prędkość. Silnik napędza samochód siłą o wartości 1 700 N, a na samochód działa jeszcze siła oporu ruchu o wartości 100 N.
Oblicz przyspieszenie samochodu i jego prędkość na końcu drogi.
Uwaga: Jest to ruch prostoliniowy i będziemy brali pod uwagę tylko wartości przyspieszenia i prędkości.
Dane
m = 1 400 kg masa samochodu L = 1 000 m przebyta droga Fm = 1 700 N siła z jaką silnik napędza samochód Fo = 100 N siła oporu a = ? (m·s−2) przyspieszenie v = ? (m·s−1) prędkość, którą uzyska samochód Podpowiedź 1 - siła wypadkowa
Jak jest wartość siły wypadkowej \(F\) działającej na samochód, jeśli na samochód działa siła napędzająca go oraz siła oporu ruchu?
Podpowiedź 2 - oblicz przyspieszenie samochodu
Jeśli znasz wartość siły wypadkowej działającej na samochód, to możesz obliczyć jego przyspieszenie?
Podpowiedź 3 - obliczenie prędkości samochodu
Ruch samochodu jest ruchem jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym. Skorzystaj z definicji przyspieszenia.
Rozwiązanie zadania
Obliczamy przyspieszenie samochodu:
Wartość wypadkowej siły jest równa różnicy siły z jaką silnik napędza samochód i siły oporu ruchu:
\[F\,=\,F_m\,-\,F_o\tag{1}\]Przyspieszenie można wyznaczyć z drugiego prawa Newtona, w którym wypadkowa siła działająca na ciało jest wprost proporcjonalna do przyspieszenia ciała:
\[F\,=\,ma\]W równaniu (1) możemy zastąpić F wyrażeniem na siłę wypadkową i wyznaczyć a:
\[F_m\,-\,F_o\,=\,ma\] \[a\,=\,\frac{F_m\,-\,F_o}{m}\]
Obliczenia:
\[F_m\,=\,1\,700\,\mathrm{N}\] \[F_o\,=\,100\,\mathrm{N}\] \[m\,=\,1\,400\,\mathrm{kg}\]
\[a\,=\,\frac{F_m\,-\,F_o}{m}\,=\,\left(\frac{1\,700\,-\,100}{1\,400}\right)\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}}\,\dot{=}\,1{,}14\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}}\]
Obliczamy prędkość samochodu:
Zakładamy, że ruch jest ruchem jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym.
Korzystamy z definicji przyspieszenia a:
\[a\,=\,\frac{{\Delta}v}{{\Delta}t}\,,\]gdzie: Δv jest zmianą prędkości w czasie Δt. Samochód ruszył z miejsca i nie posiadał prędkości początkowej. Dlatego możemy zapisać, że Δv = v. Wyznaczamy wyrażenie na Δt:
\[{\Delta}t\,=\,\frac{{\Delta}v}{a}\,=\,\frac{v}{a}\tag{2}\]Na drodze L samochód poruszał się ze stałym przyspieszeniem:
\[L\,=\,\frac{1}{2}a\left({\Delta}t\right)^2\tag{3}\]Do wzoru (3) wstawiamy wyrażenie (2) a i wyznaczamy v:
\[L\,=\,\frac{1}{2}a\left(\frac{v}{a}\right)^2\,=\,\frac{v^2}{2a}\,\Rightarrow\,v\,=\,\sqrt{2aL}\]
Obliczenia:
\[a\,\dot{=}\,1{,}14\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}}\] \[L\,=\,1\,000\,\mathrm{m}\]
\[v\,=\,\sqrt{2aL}\,\dot{=}\,\left(\sqrt{2{\cdot}1{,}14{\cdot}1\,000}\right)\,\mathrm{m{\cdot}s^{-1}}\,\dot{=}\,47{,}8\,\mathrm{m{\cdot}s^{-1}}\,\dot{=}\,172\,\mathrm{km{\cdot}h^{-1}}\]
Komentarz
Siła oporu ruchu ma przeciwny zwrot do zwrotu wektora prędkości samochodu. Siła oporu powietrza rośnie proporcjonalnie do kwadratu prędkości samochodu i zmienia swoją wartość w czasie ruchu samochodu.
Odpowiedź
Samochód porusza się z przyspieszeniem \(a\,=\,\frac{F_m\,-\,F_o}{m}\,\dot{=}\,1{,}14\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}}.\)
Na końcu drogi L uzyskuje prędkość o wartości \(v=\sqrt{2aL}\,\dot{=}\,47{,}8\,\mathrm{m{\cdot}s^{-1}}.\)
