Średnia prędkość samochodu

Kod zadania: 592

Prędkość samochodu na stromej równi pod górę jest równa v1 = 30 km/h, a zjeździe z niej prędkość ta jest równa v2 = 90 km/h. Jaka jest średnia prędkość tego samochodu?
  • PODPOWIEDŹ 1 Czas potrzebny do wjechania i zjechania z równi

    Samochód przebył taką samą drogę w pierwszym i drugim przypadku, czyli jak wjeżdżał i zjeżdżał z równi. Zatem s2 = s2 = s
  • Rozwiązanie

     

    Czas t1 potrzebny do jazdy pod górę będzie liczony ze wzoru:

    \[t_1=\frac{s}{v_1}\]

    Czas t2 potrzebny do jazdy w drugą stronę liczony będzie ze wzoru:

    \[t_2=\frac{s}{v_2}\]
  • PODPOWIEDŹ 2 Średnia prędkość samochodu

    Należy pamiętać, że średnia prędkość samochodu to nie średnia arytmetyczna prędkości v1 oraz v2.
  • Rozwiązanie

    Średnia prędkość to całkowita droga przebyta przez samochód podzielona przez całkowity czas trwania ruchu.

    \[v_{sr}=\frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}=\frac{2s}{t_1+t_2}=\frac{2s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}}=\frac{2}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}\]

    Podstawiając dane liczbowe mamy:

    \[v_p=\frac{(2\cdot{30}\cdot{90})\,\mathrm{km}}{(30+90)\,\mathrm{h}}=45\,\mathrm{km/h}\]

    Średnia prędkość samochodu jest równa tylko 45 km/h. Jest więc bliższa dolnej prędkości, z jaką porusza się samochód. W naszym przypadku (kiedy droga w górę i w dół jest taka sama) można pokazać, że:

    \[\frac{v_{sr}-v_1}{v_2-v_{sr}}=\frac{v_1}{v_2}\]

     

    Zatem:

    \[\frac{30\,\mathrm{km/h}}{90\,\mathrm{km/h}}=\frac{1}{3}\]

     

    Uwaga: Zadanie sugeruje natychmiastową odpowiedź, że średnia prędkość wynosi 60 km/h (średnia arytmetyczna z obu wartości). Oczywiście jest to mylna odpowiedź. Prowadzenie samochodu z prędkością 30 km/h pod górkę wymaga trzy razy więcej czasu niż sprowadzenie go na dół z prędkością 90 km/h!

  • Odpowiedź

    Średnia prędkość samochodu wynosi 45 km/h.
Poziom: Poziom 1 – Gimnazjum