Rzuć piłkę
Kod zadania: 1099
Piłkę rzucono pionowo do góry z prędkością początkową 10 m·s−1. Na jaką maksymalną wysokość się wzniesie, przy zaniedbaniu oporu powietrza? Ile czasu zajmie piłce wznoszenie do wysokości, równej połowie maksymalnej?
Zapis danych
v0 = 10 m·s−1 prędkość początkowa piłki hmax = ? (m) maksymalna wysokość t1 = ? (s) czas, w którym piłka doleci do połowy maksymalnej wysokości Z tablic: g = 10 m·s−2 przyspieszenie grawitacyjne Podpowiedź 1: Ruch piłki
Jakim ruchem piłka wznosi się do góry? Jak zmienia się w czasie prędkość piłki? Jak zmienia się w czasie jej wysokość?
Podpowiedź 2 : Punkt maksymalnego wzniesienia
Jaka będzie prędkość piłki w punkcie maksymalnego wzniesienia? Po jakim czasie piłka się tam znajdzie? Jaką pokona drogę?
Podpowiedź 3: Droga pokonana przy wznoszeniu
Wiemy już, jak zmienia się w czasie wysokość, możemy też określić połowę maksymalnej wysokości. Jak obliczysz, ile czasu zajmie piłce ruch w górę do tego położenia?
Podpowiedź 4: Rozwiązanie równania kwadratowego
Po rozwiązaniu równania kwadratowego otrzymujemy dwie wartości. Która z nich stanowi rozwiązanie zadania, a jaka jest interpretacja drugiej?
PEŁNE ROZWIĄZANIE:
Chodzi o rzut w górę (ruch jednostajnie opóźniony). Zależność prędkości i wysokości piłki od czasu:
\[v(t)\,=\, v_0\,-\,gt\,,\] \[h(t) \,=\,v_0t \,-\, \frac{1}{2}\,gt^{2}\,.\]1. Maksymalna wysokość
W punkcie maksymalnego wzniesienia piłka zatrzymuje się, v = 0:
\[0\,=\,v_0\,-\,gt_v\,.\]Czas wznoszenia się wynosi:
\[t_v\,=\,\frac{v_0}{g}\,.\]Maksymalna wysokość to:
\[h_{max}\,=\,v_0t_v\,-\,\frac{1}{2}\,gt_v^{2}\,,\] \[h_{max}\,=\,v_0\,\frac{v_0}{g}\,-\,\frac{g}{2}\frac{v_0^{2}}{g^{2}}\,=\,\frac{v_o^{2}}{2g}\,.\]Podstawmy dane liczbowe:
\[t_v \,=\, \frac{10}{10}\,\mathrm{s} \,=\, 1\,\mathrm{s}\,,\] \[h_{max}\,=\,\frac{10^{2}}{2{\cdot} 10}\,\mathrm{m} = 5\,\mathrm{m}\,.\]2. Czas wznoszenia się do połowy maksymalnej wysokości
Wiemy już, że chwilową wysokość w zależności od czasu opisuje wzór:
\[h \,=\, v_0t\,-\,\frac{1}{2}gt^{2}\,,\]przy czym
\[h\,=\,\frac{h_{max}}{2} \,=\, \frac{v_0^{2}}{4g}\,.\]Tak więc:
\[\frac{v_0^{2}}{4g} \,=\, v_0t\,-\,\frac{1}{2}\,gt^{2}\,.\]Pomnóżmy obustronnie przez 4g:
\[v_0^{2} \,=\, 4v_0tg \,-\, 2g^{2}t^{2}\,.\]Otrzymujemy równanie kwadratowe, w którym niewiadomą jest czas t:
\[2g^{2}t^{2}\,-\, 4v_0tg \,+\, v_0^{2} \,=\,0\,.\]Rozwiązania równania:
\[t_{1{,}2}\,=\,\frac{4v_0g\,\pm\,\sqrt{8v_0^{2}g^{2}}}{4g^{2}}\,,\] \[t_{1{,}2}\,=\,\frac{2v_0\,\pm\,\sqrt{2}v_0}{2g}\,=\,\frac{v_0}{g}\,\left(1\,\pm\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\,.\]Po podstawieniu danych uzyskujemy dwa rozwiązania rzeczywiste:
\[t_1 \,=\, \frac{v_0}{g}\,\left(1\,-\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\,\dot=\,0{,}3\,\mathrm{s}\,,\] \[t_2 \,=\, \frac{v_0}{g}\,\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\,\dot=\,1{,}7\,\mathrm{s}\,.\]Pierwsze odpowiada fazie ruchu w górę (ruch jednostajnie opóźniony); drugie odpowiada temu samemu położeniu, ale już przy spadaniu swobodnym w dół w drugiej części ruchu. Warto zauważyć, że oba rozwiązania są symetryczne względem chwili czasu \(t_v\,=\,1\,\mathrm{s}\) (odpowiadającej maksymalnemu wzniesieniu).
Odpowiedź
Piłka wzniesie się na maksymalną wysokość
\[h_{max}\,=\,\frac{v_0^{2}}{2g}\,\dot=\,5\,\mathrm{m}\,.\]Ruch w górę do połowy maksymalnej wysokości potrwa
\[t_1\,=\,\frac{v_0}{g}\,\left(1\,-\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\,\dot=\,0{,}3\,\mathrm{s}\,.\]
