Zbiór rozwiązanych zadań i problemów fizycznych

Blok nieruchomy

Kod zadania: 887

Na bloku nieruchomym wisi ciężarek o masie m₁ =  0,55 kg i wiadro o masie m₂ = 0,45 kg. Określ przyspieszenie układu i siłę, która działa na oś bloku. Zaniedbujemy masę bloku i sznurka oraz tarcie.

• Podpowiedź 1 – równanie ruchu, określenie przyspieszenia

  Naszkicuj rysunek i zaznacz na nim wszystkie siły działające na ciężarek i wiadro. Zapisz równania ruchu ciężarka i wiadra. Wprowadź układ współrzędnych.

• Rozwiązanie podpowiedzi 1 – równanie ruchu, określenie przyspieszenia

  Siły działające w układzie:

  Masa m₁:

  \(\vec{F}_{G1}\)…siła ciężkości (ciężar)

  \(\vec{T_1}\)…siła napinająca sznurek

  Masa m₂:

  \(\vec{F}_{G2}\)…siła ciężkości (ciężar)

  \(\vec{T_2}\)…siła napinająca sznurek

  

  Równania ruchu:

  Masa m₁:

  \[\vec{F}_{G1}+\vec{T_1}\,=\,m_1\vec{a}\]

  Wiadro m₂:

  \[\vec{F}_{G2}+\vec{T_2}\,=\,m_2\vec{a}\]

  Ciężarek i wiadro poruszają się ze stałym przyspieszeniem w lewo.

  

  Wprowadźmy oś y, jak na rysunku. Zapiszmy równania skalarnie:

  \[F_{G1} - T_1 \,=\, m_1a\tag{1}\] \[T_2 - F_{G2} \,=\, m_2a\tag{2}\]

  Ponieważ zaniedbujemy masę bloczka, nie będzie żadnej dodatkowej siły ani momentu bezwładności. Ciężarek m₁ działa poprzez sznurek na wiadro m₂, a wiadro m₂ z kolei na ciężarek m₁. Zgodnie z 3. zasadą dynamiki Newtona będziemy mieć:

  \[|\vec{T}_1| \,=\, |\vec{T}_2| \,=\, |\vec{T}|\,.\]

  Podstawmy do równań (1) i (2):

  \[m_1g - T \,=\, m_1a\tag{3}\] \[T - m_2g \,=\, m_2a\tag{4}\]

  Określenie przyspieszenia:

  Dodając równania (3) i (4) otrzymamy:

  \[m_1g - m_2g \,=\, m_1a+m_2a\] \[(m_1 - m_2)g \,=\, (m_1+m_2)a\] \[a\,=\,\frac{(m_1 - m_2)g}{m_1+m_2}\tag{5}\]

  Podstawiamy dane i obliczamy:

  \[a\,=\,\left(\frac{\left(0{,}55\,-\,0{,}45\right)9{,}81}{0{,}55+0{,}45}\right)\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,\dot{=}\,0{,}98\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,.\]

• Podpowiedź 2 – siła działająca na bloczek

  Zaznacz na rysunku wszystkie siły działające na bloczek i zastanów się, jaka jest ich wypadkowa.

• Rozwiązanie podpowiedzi 2 – określenie siły działającej na bloczek

  Wyznaczenie siły działającej na bloczek:

  Na bloczek działają po obu stronach siły napinające sznurek \(\vec{T'_1}\) i \(\vec{T'_2}\) a także oś, na której umieszczono bloczek, siłą \(\vec{F}_k\) (masę bloczka, a więc i jego ciężar, zaniedbujemy).

  

  Przyspieszenie bloczka wynosi zero, tak więc i wypadkowa sił nań działających musi dawać zero:

  \[\vec{T_1^\prime}\,+\,\vec{T_2^\prime}\,+\,\vec{F}_k\,=\,0\,.\tag{6}\]

  Zaniedbujemy masę bloczka, nie będzie więc uwzględniany jego moment bezwładności; pomiędzy siłami napinającymi sznurek zachodzi więc związek:

  \[|\vec{T_1^\prime}| \,=\, |\vec{T_2^\prime}| \,=\, |\vec{T}|\,.\]

  Równanie (6) przepiszmy skalarnie:

  \[2T\,-\,F_k\,=\,0\] \[2T\,=\,F_k\tag{7}\]

  Możemy teraz wyznaczyć z rówania (3) lub (4):

  \[F_k\,=\,2m_2\left(a+g\right)\,=\,2m_1\left(g-a\right)\,.\tag{8}\]

  Podstawmy do równania (8) dane liczbowe:

  \[F_k\,=\,2\,\cdot\,0{,}45\left(9{,}81\,+\,0{,}98\right)\,\mathrm{N}\,=\,2\,\cdot\,0{,}55\left(9{,}81\,-\,0{,}98\right)\,\mathrm{N}\] \[F_k\,=\,0{,}9\,\cdot10{,}79\,\mathrm{N}\,=\,1{,}1\,\cdot8{,}83\,\mathrm{N}\] \[F_k\,\dot{=}\,9{,}71\,\mathrm{N}\]

• PEŁNE ROZWIĄZANIE

  Na rysunku zaznaczmy wszystkie siły działające na wiadro i ciężarek i zapiszmy dla nich równania ruchu.

  Siły działające w układzie:

  Masa m₁:

  \(\vec{F}_{G1}\)…siła ciężkości (ciężar)

  \(\vec{T_1}\)…siła napinająca sznurek

  Masa m₂:

  \(\vec{F}_{G2}\)…siła ciężkości (ciężar)

  \(\vec{T_2}\)…siła napinająca sznurek

  

  Równania ruchu:

  Masa m₁:

  \[\vec{F}_{G1}+\vec{T_1}\,=\,m_1\vec{a}\]

  Wiadro m₂:

  \[\vec{F}_{G2}+\vec{T_2}\,=\,m_2\vec{a}\]

  Ciężarek i wiadro poruszać się będą ze stałym przyspieszeniem w lewo.

  

  Wprowadźmy oś y, jak na rysunku. Zapiszmy równania skalarnie:

  \[F_{G1} - T_1 \,=\, m_1a\tag{1}\] \[T_2 - F_{G2} \,=\, m_2a\tag{2}\]

  Ciężarek m₁ działa poprzez sznurek na wiadro m₂, a wiadro m₂ z kolei na ciężarek m₁. Zgodnie z 3. zasadą dynamiki Newtona siły napinające sznurek:

  \[|\vec{T}_1| \,=\, |\vec{T}_2| \,=\, |\vec{T}|\,.\]

  Podstawiamy do równań (1) i (2):

  \[m_1g - T \,=\, m_1a\tag{3}\] \[T - m_2g \,=\, m_2a\tag{4}\]

  Określenie przyspieszenia:

  Dodając równania (3) i (4) otrzymamy:

  \[m_1g - m_2g \,=\, m_1a+m_2a\] \[(m_1 - m_2)g \,=\, (m_1+m_2)a\] \[a\,=\,\frac{(m_1 - m_2)g}{m_1+m_2}\tag{5}\]

  Podstawmy dane liczbowe:

  \[a\,=\,\left(\frac{\left(0{,}55\,-\,0{,}45\right)9{,}81}{0{,}55+0{,}45}\right)\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,\dot=\,0{,}98\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,.\]

  Określenie siły działającej na bloczek:

  Na bloczek działają siły napinające sznurek \(\vec{T_1^\prime}\) i \(\vec{T_2^\prime}\) oraz równoważąca je siła \(\vec{F}_k\) (masę bloczka, a więc i jego ciężar pomijamy).

  

  Bloczek jest nieruchomy, jego przyspieszenie wynosi zero, zachodzi więc związek:

  \[\vec{T_1^\prime}\,+\,\vec{T_2^\prime}\,+\,\vec{F}_k\,=\,0\,.\tag{6}\]

  Zgodnie z 3. zasadą dynamiki Newtona:

  \[|\vec{T_1^\prime}| \,=\, |\vec{T_2^\prime}| \,=\, |\vec{T}|\,.\]

  Równanie (6) przepiszmy skalarnie:

  \[2T\,-\,F_k\,=\,0\] \[2T\,=\,F_k\tag{7}\]

  Z równań (3) lub (4) obliczamy:

  \[F_k\,=\,2m_2\left(a+g\right)\,=\,2m_1\left(g-a\right)\,.\tag{8}\]

  Podstawiamy do równania (8) dane liczbowe:

  \[F_k\,=\,2\,\cdot\,0{,}45\left(9{,}81\,+\,0{,}98\right)\,\mathrm{N}\,=\,2\,\cdot\,0{,}55\left(9{,}81\,-\,0{,}98\right)\,\mathrm{N}\] \[F_k\,=\,0{,}9\,\cdot10{,}79\,\mathrm{N}\,=\,1{,}1\,\cdot8{,}83\,\mathrm{N}\] \[F_k\,\dot{=}\,9{,}71\,\mathrm{N}\]

• ODPOWIEDŹ

  Przyspieszenie układu wynosi \(a\,\dot{=}\,0{,}98\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\).

  Siła działająca na bloczek \(F_k\,\dot{=}\,9{,}71\,\mathrm{N}\).