Blok nieruchomy

Kod zadania: 887

Na bloku nieruchomym wisi ciężarek o masie m1 =  0,55 kg i wiadro o masie m2 = 0,45 kg. Określ przyspieszenie układu i siłę, która działa na oś bloku. Zaniedbujemy masę bloku i sznurka oraz tarcie.

Obrázek k zadání úlohy
  • Podpowiedź 1 – równanie ruchu, określenie przyspieszenia

    Naszkicuj rysunek i zaznacz na nim wszystkie siły działające na ciężarek i wiadro. Zapisz równania ruchu ciężarka i wiadra. Wprowadź układ współrzędnych.

  • Podpowiedź 2 – siła działająca na bloczek

    Zaznacz na rysunku wszystkie siły działające na bloczek i zastanów się, jaka jest ich wypadkowa.

  • PEŁNE ROZWIĄZANIE

    Na rysunku zaznaczmy wszystkie siły działające na wiadro i ciężarek i zapiszmy dla nich równania ruchu.

    Siły działające w układzie:

    Masa m1:

    \(\vec{F}_{G1}\)…siła ciężkości (ciężar)

    \(\vec{T_1}\)…siła napinająca sznurek

    Masa m2:

    \(\vec{F}_{G2}\)…siła ciężkości (ciężar)

    \(\vec{T_2}\)…siła napinająca sznurek

    Síly působící na tělesa

    Równania ruchu:

    Masa m1:

    \[\vec{F}_{G1}+\vec{T_1}\,=\,m_1\vec{a}\]

    Wiadro m2:

    \[\vec{F}_{G2}+\vec{T_2}\,=\,m_2\vec{a}\]

    Ciężarek i wiadro poruszać się będą ze stałym przyspieszeniem w lewo.

    Síly působící na tělesa (se souřadnicemi)

    Wprowadźmy oś y, jak na rysunku. Zapiszmy równania skalarnie:

    \[F_{G1} - T_1 \,=\, m_1a\tag{1}\] \[T_2 - F_{G2} \,=\, m_2a\tag{2}\]

    Ciężarek m1 działa poprzez sznurek na wiadro m2, a wiadro m2 z kolei na ciężarek m1. Zgodnie z 3. zasadą dynamiki Newtona siły napinające sznurek:

    \[|\vec{T}_1| \,=\, |\vec{T}_2| \,=\, |\vec{T}|\,.\]

    Podstawiamy do równań (1) i (2):

    \[m_1g - T \,=\, m_1a\tag{3}\] \[T - m_2g \,=\, m_2a\tag{4}\]

    Określenie przyspieszenia:

    Dodając równania (3) i (4) otrzymamy:

    \[m_1g - m_2g \,=\, m_1a+m_2a\] \[(m_1 - m_2)g \,=\, (m_1+m_2)a\] \[a\,=\,\frac{(m_1 - m_2)g}{m_1+m_2}\tag{5}\]

    Podstawmy dane liczbowe:

    \[a\,=\,\left(\frac{\left(0{,}55\,-\,0{,}45\right)9{,}81}{0{,}55+0{,}45}\right)\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,\dot=\,0{,}98\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,.\]

    Określenie siły działającej na bloczek:

    Na bloczek działają siły napinające sznurek \(\vec{T_1^\prime}\) i \(\vec{T_2^\prime}\) oraz równoważąca je siła \(\vec{F}_k\) (masę bloczka, a więc i jego ciężar pomijamy).

    Síly působící na kladku

    Bloczek jest nieruchomy, jego przyspieszenie wynosi zero, zachodzi więc związek:

    \[\vec{T_1^\prime}\,+\,\vec{T_2^\prime}\,+\,\vec{F}_k\,=\,0\,.\tag{6}\]

    Zgodnie z 3. zasadą dynamiki Newtona:

    \[|\vec{T_1^\prime}| \,=\, |\vec{T_2^\prime}| \,=\, |\vec{T}|\,.\]

    Równanie (6) przepiszmy skalarnie:

    \[2T\,-\,F_k\,=\,0\] \[2T\,=\,F_k\tag{7}\]

    Z równań (3) lub (4) obliczamy:

    \[F_k\,=\,2m_2\left(a+g\right)\,=\,2m_1\left(g-a\right)\,.\tag{8}\]

    Podstawiamy do równania (8) dane liczbowe:

    \[F_k\,=\,2\,\cdot\,0{,}45\left(9{,}81\,+\,0{,}98\right)\,\mathrm{N}\,=\,2\,\cdot\,0{,}55\left(9{,}81\,-\,0{,}98\right)\,\mathrm{N}\] \[F_k\,=\,0{,}9\,\cdot10{,}79\,\mathrm{N}\,=\,1{,}1\,\cdot8{,}83\,\mathrm{N}\] \[F_k\,\dot{=}\,9{,}71\,\mathrm{N}\]
  • ODPOWIEDŹ

    Przyspieszenie układu wynosi \(a\,\dot{=}\,0{,}98\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\).

    Siła działająca na bloczek \(F_k\,\dot{=}\,9{,}71\,\mathrm{N}\).

Poziom: Poziom 3 – Szkoła średnia (liceum)
Task requires extra constants