Zbiór rozwiązanych zadań i problemów fizycznych

Wycieczka rowerowa Ani

Kod zadania: 554

• PODPOWIEDŹ 1 a) Średnia prędkość na trasie

  W jakim czasie Ania pokonała każdy odcinek swojej trasy?

  Jaki był łączny czas, w którym pokonała całą trasę?

  Jak w przypadku całkowitej drogi i całkowitego czasu określić średnią prędkość, z jaką jechała Ania?

• Rozwiązanie

  Kolejne odcinki drogi oznaczamy przez: s₁, s₂ i s₃. Prawdą jest, że:

  $$s_1 = \frac{s}{6},\,\,\, s_2 = \frac{s}{3},\,\,\,s_3 = \frac{s}{2}.$$

  Średnia prędkość to stosunek całkowitej drogi do całkowitego czasu, w jakim ta droga została pokonana. Drogę na każdym odcinku liczymy ze wzorów:

  $$s_1=v_1t_1,\,\,\,s_2=v_2t_2,\,\,\,s_3=v_3t_3.$$

  Natomiast czas na każdym odcinku drogi policzymy ze wzorów:

  $$t_1=\frac{s_1}{v_1} = \frac{s}{6v_1},\,\,\, t_2 = \frac{s_2}{v_2} = \frac{s}{3v_2},\,\,\, t_3 = \frac{s_3}{v_3} = \frac{s}{2v_3}.$$

  Średnia prędkość jest zatem równa: $$v_{sr} = \frac{s}{t_1 + t_2+t_3} = \frac{s}{\frac{s}{6v_1}+\frac{s}{3v_2}+\frac{s}{2v_3}} = \frac {6v_1v_2v_3}{3v_1v_2+2v_1v_3+v_2v_3}$$ Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy: $$v_\mathrm{sr} =\frac{(6\cdot{10}\cdot{20}\cdot{30})\mathrm{km}}{(3\cdot{10}\cdot{20}+2\cdot{10}\cdot{30}+20{\cdot}30)\mathrm{h}} = 20 \mathrm{km/h}.$$ Uwaga: Narysuj wykres prędkości w funkcji czasu (t₁ = t₂ = t₃) oraz wykres prędkości średniej od czasu.

   

  

   

  Powierzchnia pod krzywą na obu wykresach jest równa drodze pokonanej przez Anię na rowerze. Z wykresu jasno wynika, że $$v_{sr} = v_2.$$

• PODPOWIEDŹ 2 b) Średnia prędkość w drugim przypadku

  Należy wyrazić całkowitą drogę przebytą przez Anię. Średnią prędkość ustalamy podobnie, jak w poprzedniej części zadania.

• Rozwiązanie

  Niech s₁, s₂, s₃ będą odcinkami długości trasy przebytej odpowiednio z prędkościami v₁, v₂, v₃ w czasie t₁, t₂, t₃ oraz niech t_c będzie całkowitym czasem trwania ruchu.

  Z treści zadania mamy zatem:

  $$t_1=\frac{t_c}{6},    t_2=\frac{t_c}{3},    t_3=\frac{t_c}{2}$$

  Droga na każdym odcinku wynosi więc:

  $$s_1=\frac{v_1t_c}{6},      s_2=\frac{v_2t_c}{3},      s_3=\frac{v_3t_c}{2}$$

  Średnia prędkość jest obliczana w następujący sposób:

  $$v_{sr}=\frac{s_1+s_2+s_3}{t_c}=\frac{\frac{v_1t_c}{6}+\frac{v_2t_c}{3}+\frac{v_3t_c}{2}}{t_c}=\frac{v_1+2v_2+3v_3}{6}$$

  Podstawiając dane liczbowe mamy: $$v_\mathrm{sr}=\frac{(10+2\cdot{20}+3\cdot{30})}{6} \mathrm{km/h} = 23{,}33 \mathrm{km/h}$$

• Odpowiedź

  Średnia prędkość to całkowita droga przebyta w całkowitym czasie, w którym następuje przemieszczenie się ciała. W pierwszym przypadku jest ona inna niż w drugim.

  a) $v_\mathrm{sr} = \frac{(6\cdot{10}\cdot{20}\cdot{30})\mathrm{km}}{(3\cdot{10}\cdot{20}+2\cdot{10}\cdot{30}+20\cdot{30})\mathrm{h}} = 20 \mathrm{km/h}.$

  b) $v_\mathrm{sr}=\frac{(10+2\cdot{20}+3\cdot{30})}{6} \mathrm{km/h} = 23{,}33 \mathrm{km/h} .$