Skrzynka na równi pochyłej z bloczkiem obrotowym

Kod zadania: 884

W jakim czasie skrzynka o masie m1 pokona drogę s zsuwając się po równi pochyłej o koncie nachylenia α, jeżeli jest ona połączona ze swobodnie zwisającym wiaderkiem o masie m2 poprzez linę przerzuconą przez bloczek obrotowy? Stosunek mas m1/m2 jest taki, że skrzynka porusza się w dół po równi pochyłej. Tarcie i moment bezwładność bloczka obrotowego oraz ciężar liny można zaniedbać.

Rysunek do zadania
  • Podpowiedź 1 – równania ruchu

    Narysuj obrazek przedstawiający omawianą sytuację i zaznacz wszystkie siły działające na skrzynkę i wiaderko. Napisz równania ruchu dla skrzynki i wiaderka.

  • Podpowiedź 2 – przyspieszenie skrzynki

    Z równań ruchu (4) i (5) wyznacz przyspieszenie skrzynki.

  • Rozwiązanie podpowiedzi 2 – przyspieszenie skrzynki

    Otrzymujemy układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi, rozwiązanie tego układu pozwala wyznaczyć przyspieszanie z jakim porusza się skrzynka.

    Sumując równania (4) i (5), otrzymujemy:

    \[m_1g \sin\alpha \,-\, m_2g\,=\,\left(m_1+m_2\right)a\,.\] \[a\,=\,\frac{\left(m_1 \sin\alpha \,-\, m_2\right)g}{m_1\,+\,m_2}\tag{6}\]

    Zależność (6) wyraża wielkość przyspieszenia z którym skrzynka zsuwa się po równi pochyłej.

  • Podpowiedź 3 – czas w jakim skrzynka pokonuje drogę s

    Czy przyspieszenie skrzynki zależy od czasu w omawianym zadaniu? Z jakim rodzajem ruchu mamy do czynienia? Jakim wyrażeniem obliczamy drogę w ruchu, który rozpatrujemy w tym zadaniu?

  • KOMPLETNE ROZWIĄZANIE

    Siły działające na skrzynkę i wiaderko:

    Na skrzynkę działają następujące siły:

    \(\vec{F}_{G1}\)…siła ciężkości

    \(\vec{N}\)…siła nacisku podłoża

    \(\vec{T}\)…siła naciągu liny

    Na wiaderko działają następujące siły:

    \(\vec{F}_{G1}\)…siła ciężkości

    \(\vec{T'}\)…siła naciągu liny

    Siły działające na skrzynkę i wiaderko

    Równania ruchu:

    Skrzynka i wiaderko poruszają się z takim samym przyspieszeniem.

    Dla skrzynki:

    \[\vec{F}_{G1}+\vec{N}+\vec{T}\,=\,m_1\vec{a}\]

    Dla wiaderka:

    \[\vec{F}_{G2}+\vec{T'}\,=\,m_2\vec{a}\]

    Przepisujemy równania w formie skalarnej, w tym celu definiujemy układ współrzędnych x, y tak, że oś x jest równoległa do kierunku ruchu skrzynki (wiaderka), natomiast oś y jest prostopadła do osi x.

    Siły działające na skrzynkę i wiaderko (ze współrzędnymi)

    Siłę \(F_{G1}\) rozkładamy na składowe prostopadłe wzdłuż osi.

    \[F_{G1x}\,=\,F_{G1}\sin\alpha\] \[F_{G1y}\,=\,F_{G1}\cos\alpha\]

    Równania ruchu przepisujemy w formie skalarnej:

    Dla skrzynki:

    \[x:\hspace{10px}F_{G1} \sin\alpha - T \,=\, m_1a\tag{1}\] \[y:\hspace{10px}N - F_{G1} \cos\alpha \,=\, 0\tag{2}\]

    Skrzynka nie porusza się w kierunku osi y wobec czego składowa przyspieszenia w tym kierunku jest równa zeru.

    Dla wiaderka:

    \[x:\hspace{10px}T' - F_{G2} \,=\, m_2a\tag{3}\]

    Ponieważ zaniedbujemy ciężar bloczka obrotowego, możemy również pominąć wpływ jego momentu bezwładności na naciąg liny. Wobec czego wiaderko oddziałuje bezpośrednio poprzez linę na skrzynkę i odwrotnie skrzynka oddziałuje bezpośrednio na wiaderko. Zgodnie z trzecim prawem Newtona:

    \[\left|\vec{T}\right|\,=\,\left|\vec{T'}\right|.\]

    Podstawiając za \(F_{G1}\,=\,m_1g\), \( F_{G2}\,=\,m_2g\) przepisujemy równania (1) i (3) w postaci:

    \[m_1g \sin\alpha - T \,=\, m_1a\tag{4}\] \[T - m_2g\,=\, m_2a\tag{5}\]

    Otrzymujemy układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi, rozwiązanie tego układu pozwala wyznaczyć przyspieszanie z jakim porusza się skrzynka.

    Sumując równania (4) i (5), otrzymujemy:

    \[m_1g \sin\alpha \,-\, m_2g\,=\,\left(m_1+m_2\right)a\,.\] \[a\,=\,\frac{\left(m_1 \sin\alpha \,-\, m_2\right)g}{m_1\,+\,m_2}\tag{6}\]

    Zależność (6) wyraża wielkość przyspieszenia z którym skrzynka zsuwa się po równi pochyłej.

    Wyznaczenie czasu w jakim skrzynka przebywa drogę s:

    Z równania (6) widzimy, że przyspieszenie jest niezależne od czasu, mówimy wówczas o ruchu jednostajnie przyspieszonym, dla takiego ruchu wzór na drogę s ma następującą postać:

    \[s\,=\,\frac{at^2}{2}\,.\tag{7}\]

    t… czas, w którym skrzynka pokona drogę s

    Z wyrażenia (7) wyznaczamy czas t:

    \[t\,=\, \sqrt{\frac{2s}{a}}\,.\tag{8}\]

    Do równania (8) wstawiamy wyrażenie na przyspieszenie z równania (6):

    \[t\,=\,\sqrt{\frac{2s\left(m_1\,+\,m_2\right)}{\left(m_1 \sin\alpha \,-\, m_2\right)g}}\,.\tag{9}\]
  • ODPOWIEDŹ KOŃCOWA

    Skrzynka pokona drogę s na równi pochyłej w czasie \[t\,=\,\sqrt{\frac{2s\left(m_1\,+\,m_2\right)}{\left(m_1 \sin\alpha \,-\, m_2\right)g}}\] .

Poziom: Poziom 2 – Szkoła ponadgimnazjalna