Zbiór rozwiązanych zadań i problemów fizycznych

Przyspieszenie dośrodkowe rakiety

Kod zadania: 708

• Uwaga

  Przy rozwiązaniu zakładamy, że Ziemia jest kulą o promieniu 6378 km.

• Zapis danych

  \(h=400\mathrm{km}\)	wysokość rakiety nad powierzchnią ziemi
  \(a_{d}=\,?\,(\mathrm{m\cdot s^{-2}})\)	przyspieszenie dośrodkowe
  Z tablic:
  \(R_{z}=6 378 \mathrm{km}\)	promień Ziemi
  \(\kappa=\,6{,}67\cdot {10^{-11}} \mathrm{N\cdot m^2 \cdot kg^{-2}}\)	stała grawitacji
  \(M_{z}=\, 5{,}98 \cdot {10^{24}} \mathrm{km} \)	masa Ziemi

• Podpowiedź: rodzaj ruchu

  Jak można sklasyfikować rodzaj ruchu rakiety ze względu na tor i prędkość?

• Podpowiedź: rodzaj ruchu - rozwiązanie

  Chodzi o ruch jednostajny po okręgu.

• Podpowiedź: rodzaj siły

  Jaka siła działa na rakietę z punktu widzenia układu inercjalnego? Jaka siła zakrzywia tor jej ruchu? Jak ją obliczyć?

• Podpowiedź: rodzaj siły - rozwiązanie

  Na rakietę działa siła grawitacji Ziemi! (Zaniedbujemy oddziaływania grawitacyjne innych ciał.)

  Według prawa powszechnej grawitacji Newtona:

  \[F_g\,=\,\kappa\frac{mM_z}{(R_z\,+\,h)^2}\,,\]

  gdzie κ to stała grawitacji, m masa rakiety, M_z masa Ziemi, R_z promień Ziemi a h wysokość nad powierzchnią.

• Podpowiedź: rodzaj siły inaczej

  Jaka siła odpowiada za ruch po okręgu, jak ją wyrażamy? Jak ma się do siły grawitacji w naszym przykładzie?

• Podpowiedź: rodzaj siły inaczej - rozwiązanie

  W ruchu po okręgu za zakrzywienie toru odpowiada siła dośrodkowa

  \[F_d\,=\,ma_d\,,\]

  gdzie m to masa ciała a a_d przyspieszenie dośrodkowe.

  Siła dośrodkowa nie jest jakimś nowym rodzajem siły, jej rolę pełni w różnych sytuacjach jakaś inna, znana nam siła – naciągu, grawitacyjna, elektrostatyczna… W naszym przykładzie jest nią siła grawitacji.

• Podpowiedź: samodzielna analiza

  Biorąc pod uwagę powyższe podpowiedzi, spróbuj samodzielnie przeanalizować zagadnienie i określić wartość przyspieszenia dośrodkowego.

• Podpowiedź: samodzielna analiza - rozwiązanie

  Jak zauważyliśmy, siła grawitacji pełni rolę siły dośrodkowej. Możemy więc zapisać równość:

  \[F_g\,=\,F_d\,\Rightarrow\,\kappa\frac{mM_z}{(R_z\,+\,h)^2}\,=\,ma_d\]

  Stąd:

  \[a_d\,=\,\kappa\frac{M_z}{(R_z\,+\,h)^2}\]
  

  Podstawiamy wartości:

  \[\kappa\,=\,6{,}67\cdot{10^{-11}}\,\mathrm{N{\cdot}m^2{\cdot}kg^{-2}}\] \[M_z\,=\,5{,}98{\cdot}10^{24}\,\mathrm{kg}\] \[a_{d}=(6{,}67\cdot{10^{-11}}\cdot\frac{5{,}98\cdot{10^{24}}}{(6{,}378\cdot{10^{6}}+4\cdot{10^{5}})^2})\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,\dot{=}\,8{,}68\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\]

  Przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Ziemig = 9,81 m·s⁻², obliczona wartość przyspieszenia a_d = 8,68 m·s⁻² ≈ 0,88g.

• Rozwiązanie

  Rakieta porusza się ruchem jednostajnym po okręgu. Działa na nią siła grawiatcji Ziemi F_g. Ta właśnie siła zakrzywia trajektorię rakiety. Zgodnie z prawem powszechnej grawitacji:

  \[F_g\,=\,\kappa\frac{mM_z}{(R_z\,+\,h)^2}\,,\]

  gdzie κ to stała grawitacji, m masa rakiety, M_z masa Ziemi, R_z promień Ziemi a h wysokość nad powierzchnią.

  Jednocześnie w ruchu po okręgu występuje siła dośrodkowa

  \[F_d\,=\,ma_d\,,\]

  gdzie m to masa ciała, a a_d przyspieszenie dośrodkowe.

  Siła dośrodkowa nie jest nowym rodzajem siły; jej rolę mogą pełnić w różnych sytuacjach siła naciągu, grawitacyjna, elektrostatyczna… W naszym przykładzie jest nią siła grawitacji, tak więc:

  \[F_g\,=\,F_d\,\Rightarrow\,\kappa\frac{mM_z}{(R_z\,+\,h)^2}\,=\,ma_d\]

  Stąd:

  \[a_d\,=\,\kappa\frac{M_z}{(R_z\,+\,h)^2}\]
  

  Podstawiając wartości:

  \[\kappa\,=\,6{,}67{\cdot}10^{-11}\,\mathrm{N{\cdot}m^2{\cdot}kg^{-2}}\] \[M_z\,=\,5{,}98{\cdot}10^{24}\,\mathrm{kg}\] \[a_{d}=(6{,}67\cdot{10^{-11}}\cdot\frac{5{,}98\cdot{10^{24}}}{(6{,}378\cdot{10^{6}}+4\cdot{10^5})^2})\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,\dot{=}\,8{,}68\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\]

  Przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Ziemi wynosi g = 9,81 m·s⁻², obliczona wartość przyspieszenia a_d = 8,68 m·s⁻² ≈ 0,88g.

• Odpowiedź

  Na rakietę działa przyspieszenie dośrodkowe \(a_{d}=\kappa\frac{M_z}{(R_z\,+\,h)^2}\,\dot{=}\,8{,}68\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\), co odpowiada 0,88g.