Zbiór rozwiązanych zadań i problemów fizycznych

Ciężarówka na stoku

Kod zadania: 890

• Zapis danych

  m = 5 t	masa samochodu
  Fb = 4400 N	siła hamowania
  v = 30 km·h−1	prędkość samochodu
  α = ? (°)	kąt nachylenia stoku

• Podpowiedź 1

  Jakie siły działają na samochód? Jaki jest ich kierunek i zwrot? Sporządź pomocniczy rysunek.

• Rozwiązanie podpowiedzi 1

  Na samochód działają trzy siły:

  1) Siła ciężkości \(\vec{F}_G\) skierowana pionowo w dół.

  2) Siła reakcji podłoża \(\vec{R}\) (samochód naciska na podłoże, a zgodnie z 3. zasadą dynamiki Newtona podłoże działa na samochód). Skierowana jest prostopadle do położa.

  3) Siła hamująca \(\vec{F}_b\), skierowana wzdłuż podłoża, przeciwnie do kierunku ruchu.

  

• Podpowiedź 2

  Co możemy powiedzieć na temat wymienionych sił w myśl 1. zasady dynamiki Newtona?

• Rozwiązanie podpowiedzi 2

  Ponieważ samochód porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, siła wypadkowa, czyli suma wymienionych sił musi dawać zero (wektor zerowy):

  \[\vec{F}_G \,+\,\vec{R}\,+\,\vec{F}_b\,=\,\vec{o}\]

• Podpowiedź 3

  Rozłóż siłę ciężkości \(\vec{F}_G\) na składowe równoległą i prostopadłą do podłoża. Jakie warunki spełniać powinny te składowe w myśl 1. zasady dynamiki Newtona?

• Rozwiązanie podpowiedzi 3

  Rozkład siły ciężkości \(\vec{F}_G\) na składowe \(\vec{F}_0\) a \(\vec{F}_n\) pokazuje rysunek:

  

  Z 1. zasady dynamiki Newtona wynika, że sumy poszczególnych składowych - równoległych i prostopadłych do kierunku ruchu - muszą się zerować. Spełnione więc będą warunki:

  \[\vec{F}_n\,+\,\vec{R}\,=\,\vec{o}\tag{1}\] \[\vec{F}_0\,+\,\vec{F}_b\,=\,\vec{o}\tag{2}\]

  Ponieważ siły \(\vec{F}_n\) i \(\vec{R}\) mają przeciwny zwrot, podobnie jak  \(\vec{F}_0\) i \(\vec{F}_b\), możemy dla wartości tych składowych zapisać:

  \[F_n\,-\,R\,=\,0\tag{3}\] \[F_0\,-\,F_b\,=\,0\tag{4}\]

  Do dalszych obliczeń wykorzystamy równanie  (4).

• Podpowiedź 4

  Spróbuj wyrazić składową F₀ za pomocą siły ciężkości. Wykorzystaj związki trygonometryczne oraz daną wartość siły F_b do określenia z równania (4) kąta α.

• Rozwiązanie podpowiedzi 4

  Z trygonometrii (patrz rysunek wyżej):

  \[\sin{\alpha}\,=\,\frac{F_0}{F_G}\]

  Zatem:

  \[F_0\,=\,F_G\sin{\alpha}\tag{5}\]

  Siłę ciężkości F_G możemy wyrazić za pomocą masy samochodu m:

  \[F_G\,=\,mg\,,\tag{6}\]

  gdzie g to przyspieszenie grawitacyjne. Podstawiając (6) do (5) otrzymamy:

  \[F_0\,=\,mg\sin{\alpha}\tag{7}\]

  Wreszcie wykorzystując  (4) i (7) otrzymujemy równanie:

  \[ mg\sin{\alpha}\,-\,F_b\,=\,0\,\Rightarrow\,\sin{\alpha}\,=\,\frac{F_b}{mg}\]
  

  Podstawiając wartości liczbowe:

  \[F_b\,=\,4400\,\mathrm{N}\] \[m\,=\,5\,\mathrm{t}\,=\,5000\,\mathrm{kg}\] \[g\,=\,9{,}81\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}}\] \[\sin{\alpha}\,=\,\frac{F_b}{mg}\,=\,\left(\frac{4400}{5000{\cdot}9{,}81}\right)\,=\,0{,}090\,\Rightarrow\,\alpha\,=\,5^\circ8^{\prime}\]

  Warto zauważyć, że kąt nachylenia nie zależy od prędkości samochodu, ale od siły hamowania.

• Pełne rozwiązanie

  Na samochód działają trzy siły:

  1) Siła ciężkości \(\vec{F}_G\) skierowana pionowo w dół.

  2) Siła reakcji podłoża \(\vec{R}\) (samochód naciska na podłoże, więc w myśl 3. zasady dynamiki Newtona podłoże działa na samochód). Ta siła skierowana jest prostopadle do podłoża.

  3) Siła hamowania \(\vec{F}_b\), skierowana wzdłuż stoku, przeciwnie do kierunku ruchu.

  

  Ponieważ samochód porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, siła wypadkowa (suma tych trzech sił) musi wynosić zero (wektor zerowy):

  \[\vec{F}_G \,+\,\vec{R}\,+\,\vec{F}_b\,=\,\vec{o}\]

  Siłę ciężkości \(\vec{F}_G\) możemy rozłożyć na składowe \(\vec{F}_0\) równoległą do stoku i  \(\vec{F}_n\) prostopadłą do podłoża. Rozkład ten pokazuje kolejny rysunek:

  

  Z 1. zasady dynamiki Newtona wynika, że sumy poszczególnych składowych - równoległych i prostopadłych do kierunku ruchu - muszą się zerować. Spełnione więc będą warunki:

  \[\vec{F}_n\,+\,\vec{R}\,=\,\vec{o}\tag{1}\] \[\vec{F}_0\,+\,\vec{F}_b\,=\,\vec{o}\tag{2}\]

  Ponieważ siły \(\vec{F}_n\) i \(\vec{R}\) oraz  \(\vec{F}_0\) i \(\vec{F}_b\) mają przeciwny zwrot, możemy zapisać równania na wartości tych sił:

  \[F_n\,-\,R\,=\,0\tag{3}\] \[F_0\,-\,F_b\,=\,0\tag{4}\]

  Do dalszych obliczeń wykorzystamy równanie (4).

  Z trygonometrii (patrz rysunek wyżej):

  \[\sin{\alpha}\,=\,\frac{F_0}{F_G}\]

  Zatem:

  \[F_0\,=\,F_G\sin{\alpha}\tag{5}\]

  Siłę ciężkości F_G wyrażamy za pomocą masy samochodu m:

  \[F_G\,=\,mg\,,\tag{6}\]

  gdzie g to przyspieszenie grawitacyjne. Podstawiając (6) do (5) otrzymamy:

  \[F_0\,=\,mg\sin{\alpha}\tag{7}\]

  Korzystając z (4) i (7) zapisujemy:

  \[ mg\sin{\alpha}\,-\,F_b\,=\,0\,\Rightarrow\,\sin{\alpha}\,=\,\frac{F_b}{mg}\]
  

  Podstawiając dane liczbowe:

  \[F_b\,=\,4400\,\mathrm{N}\] \[m\,=\,5\,\mathrm{t}\,=\,5000\,\mathrm{kg}\] \[g\,=\,9{,}81\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}}\] \[\sin{\alpha}\,=\,\frac{F_b}{mg}\,=\,\left(\frac{4400}{5000{\cdot}9{,}81}\right)\,\dot{=}\,0{,}090\,\Rightarrow\,\alpha\,\dot{=}\,5^\circ8^{\prime}\]

  Warto zauważyć, że kąt nachylenia nie zależy od prędkości samochodu, ale od siły hamowania.

• Odpowiedź

  \[\sin{\alpha}\,=\,\frac{F_b}{mg}\,=\,0{,}090\,\Rightarrow\,\alpha\,=\,5^{\circ} 8^{\prime}\]

  Stok nachylony jest pod kątem ok. \(5^{\circ} 8^{\prime}\).