Zbiór rozwiązanych zadań i problemów fizycznych

Ciężarówka na stoku

Kod zadania: 890

• Zapis danych

  m = 5 t	masa samochodu
  Fb = 4400 N	siła hamowania
  v = 30 km·h−1	prędkość samochodu
  α = ? (°)	kąt nachylenia stoku

• Podpowiedź 1

  Jakie siły działają na samochód? Jaki jest ich kierunek i zwrot? Sporządź pomocniczy rysunek.

• Rozwiązanie podpowiedzi 1

  Na samochód działają trzy siły:

  1) Siła ciężkości $\vec{F}_G$ skierowana pionowo w dół.

  2) Siła reakcji podłoża $\vec{R}$ (samochód naciska na podłoże, a zgodnie z 3. zasadą dynamiki Newtona podłoże działa na samochód). Skierowana jest prostopadle do położa.

  3) Siła hamująca $\vec{F}_b$, skierowana wzdłuż podłoża, przeciwnie do kierunku ruchu.

  

• Podpowiedź 2

  Co możemy powiedzieć na temat wymienionych sił w myśl 1. zasady dynamiki Newtona?

• Rozwiązanie podpowiedzi 2

  Ponieważ samochód porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, siła wypadkowa, czyli suma wymienionych sił musi dawać zero (wektor zerowy):

  $$\vec{F}_G \,+\,\vec{R}\,+\,\vec{F}_b\,=\,\vec{o}$$

• Podpowiedź 3

  Rozłóż siłę ciężkości $\vec{F}_G$ na składowe równoległą i prostopadłą do podłoża. Jakie warunki spełniać powinny te składowe w myśl 1. zasady dynamiki Newtona?

• Rozwiązanie podpowiedzi 3

  Rozkład siły ciężkości $\vec{F}_G$ na składowe $\vec{F}_0$ a $\vec{F}_n$ pokazuje rysunek:

  

  Z 1. zasady dynamiki Newtona wynika, że sumy poszczególnych składowych - równoległych i prostopadłych do kierunku ruchu - muszą się zerować. Spełnione więc będą warunki:

  $$\vec{F}_n\,+\,\vec{R}\,=\,\vec{o}\tag{1}$$ $$\vec{F}_0\,+\,\vec{F}_b\,=\,\vec{o}\tag{2}$$

  Ponieważ siły $\vec{F}_n$ i $\vec{R}$ mają przeciwny zwrot, podobnie jak  $\vec{F}_0$ i $\vec{F}_b$, możemy dla wartości tych składowych zapisać:

  $$F_n\,-\,R\,=\,0\tag{3}$$ $$F_0\,-\,F_b\,=\,0\tag{4}$$

  Do dalszych obliczeń wykorzystamy równanie  (4).

• Podpowiedź 4

  Spróbuj wyrazić składową F₀ za pomocą siły ciężkości. Wykorzystaj związki trygonometryczne oraz daną wartość siły F_b do określenia z równania (4) kąta α.

• Rozwiązanie podpowiedzi 4

  Z trygonometrii (patrz rysunek wyżej):

  $$\sin{\alpha}\,=\,\frac{F_0}{F_G}$$

  Zatem:

  $$F_0\,=\,F_G\sin{\alpha}\tag{5}$$

  Siłę ciężkości F_G możemy wyrazić za pomocą masy samochodu m:

  $$F_G\,=\,mg\,,\tag{6}$$

  gdzie g to przyspieszenie grawitacyjne. Podstawiając (6) do (5) otrzymamy:

  $$F_0\,=\,mg\sin{\alpha}\tag{7}$$

  Wreszcie wykorzystując  (4) i (7) otrzymujemy równanie:

  $$mg\sin{\alpha}\,-\,F_b\,=\,0\,\Rightarrow\,\sin{\alpha}\,=\,\frac{F_b}{mg}$$
  

  Podstawiając wartości liczbowe:

  $$F_b\,=\,4400\,\mathrm{N}$$ $$m\,=\,5\,\mathrm{t}\,=\,5000\,\mathrm{kg}$$ $$g\,=\,9{,}81\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}}$$ $$\sin{\alpha}\,=\,\frac{F_b}{mg}\,=\,\left(\frac{4400}{5000{\cdot}9{,}81}\right)\,=\,0{,}090\,\Rightarrow\,\alpha\,=\,5^\circ8^{\prime}$$

  Warto zauważyć, że kąt nachylenia nie zależy od prędkości samochodu, ale od siły hamowania.

• Pełne rozwiązanie

  Na samochód działają trzy siły:

  1) Siła ciężkości $\vec{F}_G$ skierowana pionowo w dół.

  2) Siła reakcji podłoża $\vec{R}$ (samochód naciska na podłoże, więc w myśl 3. zasady dynamiki Newtona podłoże działa na samochód). Ta siła skierowana jest prostopadle do podłoża.

  3) Siła hamowania $\vec{F}_b$, skierowana wzdłuż stoku, przeciwnie do kierunku ruchu.

  

  Ponieważ samochód porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, siła wypadkowa (suma tych trzech sił) musi wynosić zero (wektor zerowy):

  $$\vec{F}_G \,+\,\vec{R}\,+\,\vec{F}_b\,=\,\vec{o}$$

  Siłę ciężkości $\vec{F}_G$ możemy rozłożyć na składowe $\vec{F}_0$ równoległą do stoku i  $\vec{F}_n$ prostopadłą do podłoża. Rozkład ten pokazuje kolejny rysunek:

  

  Z 1. zasady dynamiki Newtona wynika, że sumy poszczególnych składowych - równoległych i prostopadłych do kierunku ruchu - muszą się zerować. Spełnione więc będą warunki:

  $$\vec{F}_n\,+\,\vec{R}\,=\,\vec{o}\tag{1}$$ $$\vec{F}_0\,+\,\vec{F}_b\,=\,\vec{o}\tag{2}$$

  Ponieważ siły $\vec{F}_n$ i $\vec{R}$ oraz  $\vec{F}_0$ i $\vec{F}_b$ mają przeciwny zwrot, możemy zapisać równania na wartości tych sił:

  $$F_n\,-\,R\,=\,0\tag{3}$$ $$F_0\,-\,F_b\,=\,0\tag{4}$$

  Do dalszych obliczeń wykorzystamy równanie (4).

  Z trygonometrii (patrz rysunek wyżej):

  $$\sin{\alpha}\,=\,\frac{F_0}{F_G}$$

  Zatem:

  $$F_0\,=\,F_G\sin{\alpha}\tag{5}$$

  Siłę ciężkości F_G wyrażamy za pomocą masy samochodu m:

  $$F_G\,=\,mg\,,\tag{6}$$

  gdzie g to przyspieszenie grawitacyjne. Podstawiając (6) do (5) otrzymamy:

  $$F_0\,=\,mg\sin{\alpha}\tag{7}$$

  Korzystając z (4) i (7) zapisujemy:

  $$mg\sin{\alpha}\,-\,F_b\,=\,0\,\Rightarrow\,\sin{\alpha}\,=\,\frac{F_b}{mg}$$
  

  Podstawiając dane liczbowe:

  $$F_b\,=\,4400\,\mathrm{N}$$ $$m\,=\,5\,\mathrm{t}\,=\,5000\,\mathrm{kg}$$ $$g\,=\,9{,}81\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}}$$ $$\sin{\alpha}\,=\,\frac{F_b}{mg}\,=\,\left(\frac{4400}{5000{\cdot}9{,}81}\right)\,\dot{=}\,0{,}090\,\Rightarrow\,\alpha\,\dot{=}\,5^\circ8^{\prime}$$

  Warto zauważyć, że kąt nachylenia nie zależy od prędkości samochodu, ale od siły hamowania.

• Odpowiedź

  $$\sin{\alpha}\,=\,\frac{F_b}{mg}\,=\,0{,}090\,\Rightarrow\,\alpha\,=\,5^{\circ} 8^{\prime}$$

  Stok nachylony jest pod kątem ok. $5^{\circ} 8^{\prime}$.