Klocek na równi pochyłej

Kod zadania: 886

Klocek możemy przesuwać po równi ruchem jednostajnym z dołu do góry używając siły F1, zaś z góry na dół - używając siły F2. Wyznacz współczynnik tarcia f klocka o równię, jeśli F1 = 6F2, a obie siły są równoległe do powierzchni równi, która z kolei tworzy z poziomem kąt α = 15°.

Obrázek k zadání úlohy
  • Podpowiedź 1 – siły działające na klocek na równi pochyłej

    Naszkicuj rysunek i zaznacz na nim wszystkie siły działające na klocek:

    1) Klocek przesuwamy siłą F1 w górę.

    2) Klocek przesuwamy siłą F2 w dół.

    Zapisz równanie ruchu dla każdego z tych przypadków.

  • Podpowiedź 2 – siła tarcia, określenie współczynnika tarcia

    Zastanów się, od czego zależy siła tarcia i jak możemy ją obliczyć. Podstaw wyrażenie na siłę tarcia do równań ruchu (1) i (3). Otrzymasz 2 równania z dwiema niewiadomymi. Określ z nich współczynnik tarcia.

  • PEŁNE ROZWIĄZANIE

    Na rysunku zaznaczymy wszystkie siły działające na klocek w obu przypadkach i napiszemy równania ruchu.

    Siły działające na klocek:

    Na klocek w obu przypadkach działają następujące siły:

    \(\vec{F}_{G}\)…siła ciężkości (ciężar)

    \(\vec{F}_1(\vec{F}_2)\)…siła, którą ciągniemy klocek

    \(\vec{N}\)…siła reakcji podłoża

    \(\vec{F}_{t}\)…siła tarcia

    Kierunki i zwroty sił zaznaczono na rysunku.

    Ruch w górę:

    Síly působící na bednu při pohybu nahoru

    Ruch w dół:

    Síly působící na bednu při pohybu dolu

    Równania ruchu:

    Ruch w górę:

    \[\vec{F}_G+\vec{N}+\vec{F}_1+\vec{F}_t\,=\,m\vec{a}_1\,=\,0\,.\]

    Ruch w dół:

    \[\vec{F}_G+\vec{N}+\vec{F}_2+\vec{F}_t\,=\,m\vec{a}_2\,=\,0\,.\]

    Obydwa ruchy są jednostajne, przyspieszenie w każdym przypadku wynosi zero.

    Równania ruchu skalarnie:

    Wprowadźmy układ współrzędnych tak, aby oś x była skierowana wzdłuż równi. Oś y jest prostopadła do osi x.

    Siłę \[F_G\] rozłóżmy na 2 składowe:

    \[F_{Gx}\,=\,F_G\sin\alpha\] \[F_{Gy}\,=\,F_G\cos\alpha\]

    Ruch w górę:

    \[x:\hspace{10px}-F_G\sin\alpha+F_1-F_t\,=\,0\tag{1}\] \[y:\hspace{10px}N-F_G\cos\alpha\,=\,0\tag{2}\]
    Síly působící na bednu při pohybu nahoru(se souřadnicemi)

    Ruch w dół:

    \[x:\hspace{10px}F_G\sin\alpha+F_2-F_t\,=\,0\tag{3}\] \[y:\hspace{10px}N-F_G\cos\alpha\,=\,0\tag{4}\]
    Síly působící na bednu při pohybu dolu (se souřadnicemi)

    Siła tarcia:

    Siła tarcia klocka o równię zależy od siły nacisku. Ta z kolei zgodnie z 3.  zasadą dynamiki Newtona odpowiada sile reakcji podłoża. Zapiszmy to za pomocą równań:

    \[F_t\,=\,fN\,.\]

    Siłę N wyznaczymy z równania (2):

    \[N\,=\,F_G\cos\alpha\,. \]

    Na siłę tarcia mamy wyrażenie:

    \[F_t\,=\,fF_G\cos\alpha\,.\]

    Obliczenie współczynnika tarcia:

    Podstawmy do równań ruchu (1) i (3) wyrażenie na siłę tarcia. Siłę F1 zapiszmy jako 6F2.

    \[-F_G\sin\alpha+6F_2-F_Gf\cos\alpha\,=\,0\tag{6}\] \[F_G\sin\alpha+F_2-F_Gf\cos\alpha\,=\,0 \hspace{10px}\tag{7}\]

    Równanie (7) mnożymy obustronnie przez 6 i odejmujemy od niego równanie (6):

    \[-F_G\sin\alpha+6F_2-F_Gf\cos\alpha\,=\,0\] \[6F_G\sin\alpha+6F_2-6F_Gf\cos\alpha\,=\,0\]
    \[7F_G\sin\alpha-5F_Gf\cos\alpha\,=\,0\] \[7F_G\sin\alpha\,=\,5F_Gf\cos\alpha\hspace{20px}|:(5F_G\cos\alpha)\] \[f\,=\,\frac{7}{5}\mathrm{tg}\alpha\tag{8}\]

    Podstawiamy do wzoru (8) dane liczbowe:

    \[f\,=\,\frac{7}{5}\,\mathrm{tg}15°\,\dot{=}\,\frac{7}{5}\cdot0{,}258\,\dot{=}\,0{,}36\]
  • PEŁNA ODPOWIEDŹ

    Współczynnik tarcia między klockiem a równią wynosi \(f=\frac{7}{5}\mathrm{tg}\alpha\,\dot{=}\,0{,}36\).

Poziom: Poziom 3 – Szkoła średnia (liceum)